Question

如圖，曲線C₁是以原點O為中心，F₁，F₂為焦點的橢圓的一部分．曲線C₂是以O為頂點，F₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|＝，|AF₂|＝．

(1)求曲線C₁和C₂的方程；
(2)設點C是C₂上一點，若|CF₁|＝|CF₂|，求△CF₁F₂的面積．

Answer 1

（1）曲線C₁的方程為＋＝1(－3≤x≤)，曲線C₂的方程為y²＝4x(0≤x≤)
（2）2

(1)設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則2a＝|AF₁|＋|AF₂|＝＋＝6，得a＝3．
設A(x，y)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)，則(x＋c)²＋y²＝()²，(x－c)²＋y²＝()²，兩式相減得xc＝．由拋物線的定義可知|AF₂|＝x＋c＝，
則c＝1，x＝或x＝1，c＝．又∠AF₂F₁為鈍角，
則x＝1，c＝不合題意，舍去．當c＝1時，b＝2，
所以曲線C₁的方程為＋＝1(－3≤x≤)，曲線C₂的方程為y²＝4x(0≤x≤)．
(2)過點F₁作直線l垂直于x軸，過點C作CC₁⊥l于點C₁，依題意知|CC₁|＝|CF₂|．
在Rt△CC₁F₁中，|CF₁|＝|CF₂|＝|CC₁|，所以∠C₁CF₁＝45°，

所以∠CF₁F₂＝∠C₁CF₁＝45°．
在△CF₁F₂中，設|CF₂|＝r，則|CF₁|＝r，|F₁F₂|＝2．
由余弦定理得2²＋(r)²－2×2×rcos45°＝r²，
解得r＝2，
所以△CF₁F₂的面積S△CF₁F₂＝|F₁F₂|·|CF₁|sin45°＝×2×2sin45°＝2．