Question

若在曲線f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切線”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
對應的曲線中存在“自公切線”的有（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：化簡函數的解析式，結合函數的圖象的特征，判斷此函數是否有自公切線．
解答：解：①、x²-y²=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②、y=x²-|x|=，在 x= 和 x=- 處的切線都是y=-，故②有自公切線．
③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，
此函數是周期函數，過圖象的最高點的切線都重合，故此函數有自公切線．
④、由于|x|+1=，即 x²+2|x|+y²-3=0，結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
故答案為 C．
點評：本題考查函數的自公切線的定義，函數圖象的特征，準確判斷一個函數是否有自公切線，是解題的難點．