Question

已知函數f(x)=

1

3

a2x3 +3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x-8m，f（x）在x=1處的切線的斜率為-1，
（1）求f（x）的解析式及單調區間；
（2）是否總存在實數m，使得對任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導，根據f（x）在x=1處的斜率求出a的值，在根據導數判斷函數的單調性，畫出表格．
（2）根據（1）式求出g（x）的最大值和最小值，根據最值的范圍求出m的取值范圍．

解答：解：（1）解：f'（x）=a²x²+6ax+8，f'（1）=a²+6a+8=-1得a=-3，則f（x）=3x³-9x²+8x（3分）
f'（x）=9x²-18x+8=（3x-2）（3x-4）令f′(x)＞0得x＞

4

3

或x＜

2

3

；f′(x)＞0得

2

3

＜x＜

4

3

；∴f(x)的遞增區間為(-∞，

2

3

)，(

4

3

，+∞)；遞減區間為(

2

3

，

4

3

)（7分）
（2）由（1）得

x	-1	（-1， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ， 4 3 ）	4 3	（ 4 2 ，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-20	增	20 9	減	16 9	增	4

所以當x₁∈[-1，2]時，-20≤f（x₁）≤4，（9分）
假設對任意的都存在x₁∈[-1，2]x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
設g（x₀）的最大值為T，最小值為t，則

T≥4 t≤20

（11分）
又g′（x）=9x²+3m²＞0，所以當x₀∈[0，1]時，
T=g（1）=1+3m²-8m≥4且t=g（0）=-8m≤-20，所以m≥3．（15分）

點評：該題考查函數的求導，以及導數的幾何意義，在解答過程中要注意畫表格．