Question

【題目】已知，橢圓的離心率為， 是橢圓的右焦點， 的斜率為， 為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的動直線與交于， 兩點，當面積最大時，求的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）通過直線的斜率求得，通過離心率即可求得，故得到的方程；（2）設出直線的方程和點的坐標，聯立直線與橢圓方程，當判別式大于時，根據韋達定理得根與系數的關系得到的長.根據點到直線距離公式代入三角形面積中，得到其關于的表達式，根據換元法和基本不等式即可得到當面積取得最大值時的值，即求得的方程．

試題解析：（1）設右焦點，由條件知，，得．

又，所以，，故橢圓的方程為．

（2）當軸時不合題意，故設直線：，，．

將代入，得，

當，即時，，

從而，

又點到直線的距離，

所以的面積，設，則，

因為，當且僅當時，時取等號，且滿足．

所以當的面積最大時，的方程為或．