Question

在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且角A、B、C成等差數列，b=1，
（Ⅰ）求tanA+tanC-

3

tanA•tanC的值；
（Ⅱ）求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得B=

π

3

，逆用兩角和的正切即可求得tanA+tanC-

3

tanAtanC的值；
（2）利用正弦定理，可將a+c轉化為：a+c=2sin（A+

π

6

）（0＜A＜

2π

3

），利用正弦函數的單調性即可求得a+c的取值范圍；

解答：解：（1）∵A、B、C成等差數列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∴tan（A+C）=tan（π-B）=-tanB=-

3

，
又tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

，
∴

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，
即tanA+tanC=-

3

+

3

tanAtanC，
∴tanA+tanC-

3

tanAtanC=-

3

．
（2）∵b=1，B=

π

3

，
∴由正弦定理：

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

1

3 2

=

2 3

3

得：
a+c=

2 3

3

sinA+

2 3

3

sinC
=

2 3

3

（sinA+sinC）
=

2 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=

2 3

3

[sinA+

3

2

cosA-（-

1

2

）sinA]
=

2 3

3

×

3

2

（

3

sinA+cosA）
=2sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴1＜2sin（A+

π

6

）≤2．
∴a+c的取值范圍是（1，2]．

點評：本題考查兩角和與差的正切函數，著重考查正弦定理與余弦定理的應用，突出化歸思想與運算能力的考查，屬于難題．