Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方體，求：
（1）直線AC₁與平面AA₁B₁B所成角的正切值；
（2）二面角B-AC₁-B₁的大小．

Answer 1

分析：（1）先根據其為正方體得到∠C₁AB₁就是AC₁與平面AA₁B₁B所成的角；然后在RT△C₁AB₁中求其正切即可；
（2）先過B₁作B₁E⊥BC₁于E，過E作EF⊥AC₁于F，連接B₁F；根據AB⊥平面B₁C₁CB推得B₁E⇒AC₁；進而得到∠B₁FE是二面角B-AC₁-B₁的平面角；然后通過求三角形的邊長得到二面角B-AC₁-B₁的大小即可．

解答：解：（1）連接AB₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影
∴∠C₁AB₁就是AC₁與平面AA₁B₁B所成的角
在RT△C₁AB₁中，tan∠C₁AB₁=

1

2

=

2

2

∴直線AC₁與平面AA₁B₁B所成的角的正切值為

2

2

（2）過B₁作B₁E⊥BC₁于E，過E作EF⊥AC₁于F，連接B₁F；
∵AB⊥平面B₁C₁CB，⇒AB⊥B₁E⇒B₁E⇒平面ABC₁⇒B₁E⇒AC₁
∴∠B₁FE是二面角B-AC₁-B₁的平面角
在RT△BB₁C₁中，B₁E=C₁E=

1

2

BC₁=

2

2

，
在RT△ABC₁中，sin∠BC₁A=

AB

AC 1

=

3

3

∴EF=C₁E•sin∠BC₁A=

6

6

，
∴tan∠B₁FE=

B 1E

EF

=

3

∴∠B₁FE=60°，即二面角B-AC₁-B₁的大小為60°．

點評：本題主要考察線面角以及二面角的平面角及其求法．解決二面角的平面角及求法的關鍵在于把二面角的平面角找出來或做出來，常用的做法是三垂線法．