Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，滿足f（x-2）=-f（x）．當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，則下列四個命題：
①函數y=f（x）是以4為周期的周期函數；②當x∈[1，3]時，f（x）=（2-x）³：
③函數y=f（x）的圖象關于x=l對稱； ④函數y=f（x）的圖象關于點（3，0）對稱．
其中正確的命題序號是

①②③

．

Answer 1

分析：對于①根據函數的奇偶性以及f（x-2）=-f（x）可求出函數的周期，從而判定真假，對于②當x∈[1，3]時，則x-2∈∈[-1，1]，可求出x∈[1，3]時函數解析式，從而判定真假；對于③根據f（x-2）=-f（x），可得f（1+x）=f（1-x），則函數y=f（x）的圖象關于x=1對稱，從而判定真假；對于④根據條件可證函數y=f（x）的圖象關于（2，0）對稱，從而確定④的真假．

解答：解：∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），
∴函數y=f（x）是以4為周期的周期函數，故①正確．
當x∈[1，3]時，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），
∴f（x）=（2-x）³，故②正確．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），
∴函數y=f（x）的圖象關于x=1對稱，故③正確．
∵當x∈[1，3]時，f（x）=（2-x）³，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函數y=f（x）的圖象關于（2，0）對稱．故④不正確
故正確的命題有  ①②③，
故答案為：①②③．

點評：本題考查了函數的奇偶性和周期性，以及運用函數的奇偶性和周期性求函數解析式及函數值、函數圖象的對稱性．