Question

已知a，b是正數，且滿足2＜a+2b＜4．那么a²+b²的取值范圍是（　　）

Answer 1

分析：在aob坐標系中，作出不等式表示的平面區域，得到如圖的四邊形ABCD．由坐標系內兩點的距離公式可得z=a²+b²表示區域內某點到原點距離的平方，由此對圖形加以觀察可得a²+b²的上限與下限，即可得到本題答案．

解答：解：以a為橫坐標、b為縱坐標，在aob坐標系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面區域，
得到如圖的四邊形ABCD內部，（不包括邊界）
其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）
設P（a，b）為區域內一個動點，
則|OP|=

a2+b2

表示點P到原點O的距離
∴z=a²+b²=|OP|²，
可得當P與D重合時，P到原點距離最遠，
∴z=a²+b²＜(

42+02

)2=16
可得當P點在直線BA上，且滿足OP⊥AB時，
P到原點距離最近，等于

1×2

12+22

=

2 5

5

∴z=a²+b²＞(

2 5

5

)2=

4

5

綜上所述，可得a²+b²的取值范圍是（

4

5

，16）
故選：B

點評：本題給出二元一次不等式組，求z=a²+b²的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和平面內兩點間的距離公式等知識，屬于基礎題．