Question

滿足C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜200的最大自然數n等于

1. A.
   4
2. B.
   5
3. C.
   6
4. D.
   7

Answer 1

C
分析：令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，則有t=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+2C_n²+C_n¹，則可得2t=n×2ⁿ，再解不等式即可．
解答：由題意令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，則有t=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+2C_n²+C_n¹，
則可得2t=nC_nⁿ+nC_n^n-1+nC_n^n-2+…+nC_n²+nC_n¹+nC_n⁰=n×2ⁿ，
故n×2ⁿ＜400，
驗證知，最大的n是6
故選C．
點評：本題考查組合及組合數公式，解題的關鍵是根據題設中的形式，利用倒序相加的方法對不等式的左邊進行化簡，此處考查到了二項式定理，本題較抽象，知識性強，解題時要注意公式與定理的使用．