Question

某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續參加科目B的考試．已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為

2

3

，科目B每次考試成績合格的概率均為

1

2

．假設各次考試成績合格與否均互不影響．
（Ⅰ）求他不需要補考就可獲得證書的概率；
（Ⅱ）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數為ξ，求ξ的數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）不需要補考就獲得證書的事件表示科目A第一次考試合格且科目B第一次考試合格，這兩次考試合格是相互獨立的，根據相互獨立事件同時發生的概率，得到結果．
（2）參加考試的次數為ξ，由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，根據相互獨立事件同時發生的概率寫出概率，求出期望．

解答：解：設“科目A第一次考試合格”為事件A₁，“科目A補考合格”為事件A₂；
“科目B第一次考試合格”為事件B₁，“科目B補考合格”為事件B₂．
（Ⅰ）不需要補考就獲得證書的事件為A₁•B₁，注意到A₁與B₁相互獨立，
根據相互獨立事件同時發生的概率
可得P(A1•B1)=P(A1)×P(B1)=

2

3

×

1

2

=

1

3

．
即該考生不需要補考就獲得證書的概率為

1

3

．
（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，
根據相互獨立事件同時發生的概率
可得P(ξ=2)=P(A1•B1)+P(

.

A1

•

.

A2

)
=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

1

3

+

1

9

=

4

9

．
P(ξ=3)=P(A1•

.

B1

•B2)+P(A1•

.

B1

•

.

B2

)+P(

.

A1

•A2•B2)
=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

1

6

+

1

6

+

1

9

=

4

9

，
P(ξ=4)=P(

.

A1

•A2•

.

B2

•B2)+P(

.

A1

•A2•

.

B1

•

.

B2

)
=

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

18

+

1

18

=

1

9

，
∴Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

．
即該考生參加考試次數的數學期望為

8

3

．

點評：本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數學知識分析問題，解決問題的能力對于概率大家都知道要避免會而不全的問題，上述問題就是考慮不周全所造成的，所以建議讓學生一定注重題干中的每一句話，每一個字的意思．只有這樣才能做到滿分．