Question

已知C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，x≥0）和曲線C₂：x²+y²=r²（x≥0）都經過點A（0，-1），且曲線C₁所在的圓錐曲線的離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求曲線C₁和曲線C₂的方程；
（Ⅱ）設B，C兩點分別在曲線C₁，C₂上，且均與點A不重合，k₁，k₂分別為直線AB，AC的斜率，且k₂=3k₁．
①問直線BC是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；
②求∠BAC的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得r²=1，b²=1，又e=

c

a

=

a2-1

a

=

6

3

，由此能求出曲線C₁的方程和曲線C₂的方程．
（Ⅱ）①將y=k₁x-1代入

x2

3

+y2=1，得（1+3k12）x²-6k₁x=0，將y=k₂x-1代入x²+y²=1，得(1+k22)x2-2k2x=0，由此利用韋過定理結合已知條件能推導出直線BC過定點（0，1）．
②設向量

AB

，

AC

的方向向量分別為

m

=(1，k1)，

n

=(1，k2)，從而

m

•

n

=1+k₁k₂=1+3k12，由此利用均值定理求出cos∠BAC≥

1- 4 2 1 k22 •9k12 +10

=

3

2

，從而求出∠BAC的最大值為

π

6

．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得r²=1，b²=1，
又e=

c

a

=

a2-1

a

=

6

3

，解得a²=3，
∴曲線C₁的方程為

x2

3

+y2=1，（x≥0），
曲線C₂的方程為x²+y²=1，（x≥0）．
（Ⅱ）①將y=k₁x-1代入

x2

3

+y2=1，得（1+3k12）x²-6k₁x=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1=0，x2=

6k1

3k12+1

，
y₂=k₁x₂-1=

3k12-1

3k12+1

，∴B（

6k1

3k12+1

，

3k12

3k12+1

），
將y=k₂x-1代入x²+y²=1，得(1+k22)x2-2k2x=0，
設C（x₃，y₃），則x3=

2k2

k22+1

，y₃=k₂x₃-1=

k22-1

k22+1

，
∴C（

2k2

k22+1

，

k22-1

k22+1

），
∵k₂=3k₁，∴C（

6k1

9k12+1

，

9k12-1

9k12+1

），
∴直線BC的斜率k_BC=

9k12-1 9k12+1 - 3k12-1 3k12+1

6k1 9k12+1 - 6k1 3k12+1

=-

1

3k1

，
∴直線BC的方程為：y-

3k12-1

3k12+1

=-

1

3k12

（x-

6k1

3k12+1

），
即y=-

1

3k1

x+1，
∴直線BC過定點（0，1）．
②設向量

AB

，

AC

的方向向量分別為

m

=(1，k1)，

n

=(1，k2)，
∴

m

•

n

=1+k₁k₂=1+3k12，
又

m

•

n

=

1+k12

•

1+k22

cos∠BAC，
∴cos∠BAC=

1+3k12

1+k12 1+9k12

=

1- 4 1 k12 +9k12+10

≥

1- 4 2 1 k22 •9k12 +10

=

3

2

，
由題意知k₁＞0，∴當且僅當

1

k12

=9k12，即k1=

3

3

時取等號，
又∵y=cosx在（0，

π

2

）上是減函數，
∴∠BAC的最大值為

π

6

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查直線是否過定點的判斷與求法，考查角的最大值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．