Question

已知函數f（x）=ln（2-x）+ax．
（Ⅰ）設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（Ⅱ）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數，再求在x=1處的導數得到切線的斜率，然后利用點斜式求出切線方程即可；
（Ⅱ）欲求函數f（x）的單調區間，只需令f'（x）＞0求出增區間，令f'（x）＜0求出減區間即可．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）依題意有，f′(x)=a+

1

x-2

．…（3分）
因此過（1，f（1））點的直線的斜率為a-1，又f（1）=a，
所以，過（1，f（1））點的直線方程為y-a=（a-1）（x-1）．…．（4分）
又已知圓的圓心為（-1，0），半徑為1，依題意，

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，
解得a=1．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=a+

1

x-2

．
因為a＞0，所以2-

1

a

＜2，又由已知x＜2．…．（9分）
令f'（x）＞0，解得x＜2-

1

a

，令f'（x）＜0，解得2-

1

a

＜x＜2．…（11分）
所以，f（x）的單調增區間是(-∞，2-

1

a

)，f（x）的單調減區間是(2-

1

a

，2)．…（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性和直線與圓的位置關系，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．