Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，定點A(－2,0)，B(2,0)．

(1) 若橢圓C上存在點T，使得，求橢圓C的離心率的取值范圍；

(2) 已知點在橢圓C上．

①求橢圓C的方程；

②記M為橢圓C上的動點，直線AM，BM分別與橢圓C交于另一點P，Q，若， ．求λ＋μ的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②6

【解析】試題分析：（1）先求出動點的軌跡方程，設出橢圓方程，與的軌跡方程聯立求出 ，根據橢圓橫坐標的有界性求出 的范圍，離心率表示為 的函數，求出函數的值域即可得結果；（2）①根據點在橢圓C上，結合（1）的結論可得橢圓方程，②設出點 ，根據， 分別求出 用表示， 列方程化簡即可得結果.

試題解析：(1)設點T(x，y)，由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2.

由得y2＝m2－m，（其中：m=）

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2，所以橢圓的離心率e＝∈.

(2) ①橢圓C的方程為．

②設M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

得從而

因為＋y＝1，所以＋(λy1)2＝1，

即λ2＋2λ(λ－1)x1＋2(λ－1)2－1＝0.

因為＋y＝1，代入得2λ(λ－1)x1＋3λ2－4λ＋1＝0.

由題意知，λ≠1，故x1＝－，所以x0＝，同理可得x0＝.

因此＝，所以λ＋μ＝6為定值．