Question

．．已知動圓P過點并且與圓相外切，動圓圓心P的軌跡為W，過點N的直線與軌跡W交于A、B兩點。
（1）求軌跡W的方程；
（2）若，求直線的方程；
（3）對于的任意一確定的位置，在直線上是否存在一點Q，使得，并說明理由。

Answer 1

（1）
（2）
（3）存在

解：（1）依題意可知 ∴
∴點P的軌跡W是以M、N為焦點的雙曲線的右支
設其方程為   則  ∴
∴軌跡W的方程為……………………4分
（2）當的斜率不存在時，顯然不滿足，故的斜率存在，
設的方程為
由得
又設，則

由①②③解得
∵ ∴
∴ 代入①②得，
消去得，即
故所求直線的方程為：…………………………9分
（3）問題等價于判斷以AB為直徑的圓是否與直線有公共點
若直線的斜率不存在，則以AB為直徑的圓為
可知其與直線相交
若直線的斜率存在，則設直線的方程為

由（2）知且
又為雙曲線的右焦點，雙曲線的離心率e=2
則
設以AB為直徑的圓的圓心為S，點S到直徑的距離為d，則

∴
∵  ∴ 即
即直線與圓S相交。
綜上所述，以線段AB為直徑的圓與直線相交
故對于的任意一確定的位置，與直線上存在一點Q（實際上存在兩點）
使得 ………………………………14分