Question

已知函數f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）求函數的定義域；
（2）判斷函數的奇偶性，并給予證明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．

Answer 1

分析：（1）對數的真數部分大于零，即解不等式

1-x

1+x

＞0，即 （x+1）（x-1）＜0，由此求得函數的定義域．
（2）函數f（x）為奇函數，根據函數的定義域為（-1，1），再由f（-x）=-f（x），可得結論．
（3）解不等式f（x）＞1，即 log₂

1-x

1+x

＞1=log₂2，從而有

-1＜x＜1 1-x 1+x ＞2

，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）由題意可得

1-x

1+x

＞0，即

x-1

1+x

＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，…..2分
解得-1＜x＜1，…..4分
函數的定義域為（-1，1）．  …..5分
（2）函數f（x）為奇函數．…..6分
證明：由第一問得，函數的定義域為（-1，1），…..7分
∵f（-x）=log2

1+x

1-x

=log₂ (

1-x

1+x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x），…..9分
所以函數f（x）為奇函數．…..10分
（3）解不等式f（x）＞1，即 log₂

1-x

1+x

＞1=log₂2，…..11分
從而有

-1＜x＜1 1-x 1+x ＞2

，…..12分 
所以-1＜x＜-

1

3

，…..14分
不等式f（x）＞1的解集為（-1，-

1

3

 ）．…..15分．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的應用，分式不等式的解法，屬于中檔題．