Question

（2013•閔行區(qū)一模）科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)40分鐘的課中，學(xué)生的注意力隨教師講課的時(shí)間變化而變化．開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析，得出學(xué)生的注意力指數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律為：y=f(x)=

2x+68，0≤x＜8 - 1 8 (x2-32x-480)，8≤x≤40

（1）如果學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽課狀態(tài)”，則在一節(jié)40分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間有多長？（精確到1分鐘）
（2）現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)壓軸題，教師必須持續(xù)講解24分鐘，為了使效果更好，要求學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達(dá)到最大，那么，教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題？（精確到1分鐘）

Answer 1

分析：（1）由學(xué)生的注意力指數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律知：當(dāng)0≤x＜8時(shí)，由y=2x+68≥80，當(dāng)8≤x≤40時(shí)，y=-

1

8

（x²-32x-480）≥80，由此能夠推導(dǎo)出在一節(jié)40分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間．
（2）設(shè)教師上課后從第t分鐘開始講解這道題，由10+4

6

＜24，知t∈[0，6]，要學(xué)生的注意力指數(shù)最低值達(dá)到最大，只需f（t）=f（t+24），由此推導(dǎo)出教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學(xué)生的注意力指數(shù)最低值達(dá)到最大．

解答：解：（1）∵學(xué)生的注意力指數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律為：
y=f(x)=

2x+68，0≤x＜8 - 1 8 (x2-32x-480)，8≤x≤40

，
∴當(dāng)0≤x＜8時(shí)，由y=2x+68≥80，解得6≤x＜8．
當(dāng)8≤x≤40時(shí)，由y=-

1

8

（x²-32x-480）≥80，
解得8≤x≤16+4

6

≈26．
∴在一節(jié)40分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間有26-6=20分鐘．
（2）設(shè)教師上課后從第t分鐘開始講解這道題，
∵10+4

6

＜24，∴t∈[0，6]，
要學(xué)生的注意力指數(shù)最低值達(dá)到最大，只需f（t）=f（t+24），
∴2t+68=-

1

8

[(t+24)2-32(t+24)-480]，
解得t=8

6

-16≈4．
∴教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學(xué)生的注意力指數(shù)最低值達(dá)到最大．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的具體應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．