Question

（本小題滿分16分）已知在直角坐標(biāo)系中，，其中數(shù)列都是遞增數(shù)列。
（1）若，判斷直線與是否平行；
（2）若數(shù)列都是正項(xiàng)等差數(shù)列，設(shè)四邊形的面積為．
求證：也是等差數(shù)列；
（3）若,，記直線的斜率為，數(shù)列前8項(xiàng)依次遞減，求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)。

Answer 1

⑴由題意、、、．
∴，．…………………………………（2分）
，∴與不平行． ……………………………………（4分）
⑵、為等差數(shù)列，設(shè)它們的公差分別為和，則，
由題意．……………………………（6分）
∴
，……（8分）
∴，∴是與無關(guān)的常數(shù)，
∴數(shù)列是等差數(shù)列．……………………………………………………………（10分）
⑶

、，∴．
又?jǐn)?shù)列前項(xiàng)依次遞減，
∴對(duì)成立，即對(duì)成立．………………（12分）
又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，∴，只要時(shí)，即即可．
又，聯(lián)立不等式，作出可行域（如右圖所示），易得或．…………（14分）
當(dāng)時(shí)，，即，有解；
當(dāng)時(shí)，，即，有解．∴數(shù)列共有個(gè)．（16分）
另解：也可直接由得．又，則或．下同

解析