Question

甲、乙兩人解關于x的方程：log₂x+b+clog_x2=0，甲寫錯了常數b，得兩根

1

4

，

1

8

；乙寫錯了常數c，得兩根

1

2

，64．求這個方程的真正根．

Answer 1

分析：利用對數的換底公式可把方程化簡為，（log₂x）²+blog₂x+c=0，令t=log₂x，則  t²+bt+c=0，甲寫錯了常數b，c正確，可用兩根之積求c；乙寫錯了常數c，b正確，可利用兩根之和求b，從而可求方程正確的根．

解答：解：由對數的換底公式可得log2x+b+c•

1

log2x

=0
整理可得，（log₂x）²+blog₂x+c=0
令t=log₂x，則  t²+bt+c=0
甲寫錯了常數b，t1=log2

1

4

=-2    t2=log2

1

8

=-3
c=t₁t₂=6正確
乙寫錯了常數c，t1=log2

1

2

 =-1 ，t2=log264=6
b=-（t₁+t₂）=-5正確
代入可得t²-5t+6=0，
∴t₁=2t₂=3
∴x₁=4x₂=8

點評：本題主要考查了對數的換底公式，對數的基本運算，一元二次方程的根與系數的關系的應用，要注意本題的易錯點：方程的根是“x”，而不是“log₂x”．