Question

如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中點，求證：
（1）FD∥平面ABC；  
（2）AF⊥平面EDB．

Answer 1

分析：（1）要證FD∥平面ABC，可以通過證明FD∥MC實現．而后者可以通過證明CD∥FM，CD=FM，證明四邊形FMCD是平行四邊形而得出．
（2）要證AF⊥平面EDB，可以通過證明AF⊥EB，AF⊥FD實現．AF⊥EB易證，而AF⊥FD可通過CM⊥面EAB，結合CM∥FD證出．

解答：證明（1）∵F分別是BE的中點，取BA的中點M，
∴FM∥EA，FM=

1

2

EA=a
∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，
∴CD∥FM，又CD=a=FM
∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴FD∥MC，
FD?平面ABC，MC?平面ABC
∴FD∥平面ABC．
（2）因M是AB的中點，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又 EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，
又 AE∩AB=A，所以CM⊥面EAB，∵AF?面EAB
∴CM⊥AF，又CM∥FD，從而FD⊥AF，
因F是BE的中點，EA=AB所以AF⊥EB．
EB，FD是平面EDB內兩條相交直線，所以AF⊥平面EDB．

點評：本題考查空間直線和平面的位置關系，考查空間想象能力、轉化、論證能力．