Question

設函數f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，ω＞0．
（Ⅰ）若f（x）滿足f(x+

π

2

)=-f(x)，求f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）若函數f（x）滿足f(-x)=f(

2π

3

+x)，且0＜ω＜2，求ω的值．
（Ⅱ）若y=f（x）在區間[-

3π

2

，

π

2

]上為增函數，求ω的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可求得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

的周期為π，于是可知ω=2；再利用正弦函數的單調性即可求得f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）依題意得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

關于直線x=

π

3

對稱，利用正弦函數的對稱性，進一步可求得ω=

3k+1

2

（k∈Z），又0＜ω＜2，可求得ω的值；
（Ⅲ）利用

1

2

T≥

π

2

-（-

3π

2

）=2π，即可求得ω的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
又f[（x+

π

2

）+

π

2

]=-f（x+

π

2

）=f（x），
∴f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

的周期為π，ω＞0，
∴ω=2；
∴f（x）=sin（4x+

π

6

）+

1

2

，
由2kπ-

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：

kπ

2

-

π

6

≤x≤

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），
∴f（x）的單調增區間為[

kπ

2

-

π

6

，

kπ

2

+

π

12

]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵f（-x）=f（

2π

3

+x），
∴f（x）=f（

2π

3

-x），
∴f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

關于直線x=

π

3

對稱，
∴2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，
解得：ω=

3k+1

2

（k∈Z），又0＜ω＜2，
∴當k=0時，ω=

1

2

．
（Ⅲ）∵f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

在[-

3π

2

，

π

2

]上為增函數，
∴

1

2

T≥

π

2

-（-

3π

2

）=2π，ω＞0，
∴T=

2π

2ω

=

π

ω

≥4π，
∴0＜ω≤

1

4

．
∴ω的最大值為

1

4

．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查函數的周期性、單調性、對稱性與最值的綜合應用，屬于難題．