Question

已知點是橢圓：上一點，分別為的左右焦點，，的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：本題考查橢圓的定義、余弦定理及韋達定理的應用.第一問是利用三角形面積公式、余弦定理、橢圓的定義，三個方程聯立，解出，再根據的關系求，本問分析已知條件是解題的關鍵；第二問是直線與橢圓相交于兩點，先設出兩點坐標，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達式，但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊含了分類討論的思想的應用.

試題解析：（Ⅰ）在中，

由，得．

由余弦定理，得

，

從而，即，從而，

故橢圓的方程為．                                                                                                  6分

（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設其方程為，

由，得．                                     8分

設，，，．

從而．                                                                                                                           11分

當直線的斜率不存在時，得，得．

綜上，恒有．                                                                                                         12分

考點：1.橢圓的定義；2.韋達定理；3.直線的斜率.