Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：PB∥平面EFG
（2）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為0.8，若存在，求出CQ的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：對第（1）問，設AC∩BD=0，連結OF，只需證平面EFG外的一條線PB平行于平面內的直線OF即可．
對第（2）問，由PA，AB，AD兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，先假設存在滿足題意的點Q（x₀，2，0），根據點A到平面EFQ的距離為0.8，再將此距離轉化為向量

AE

在平面EFQ的法向量方向上的射影長，從而得到關于x₀的方程，通過解方程即可探求點Q的存在性．

解答： 解：（1）證：連結AC，設AC∩BD=0，連結OF，0G，則OG∥BC∥AD∥EF，∴E，F，G，O四點共面，
∵OF∥PB，PB?平面EFG，OF?平面EFG，
∴PB∥平面EFG．
（2）由題意易得PA，AB，AD兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如右圖所示，則點E（0，0，1），F（0，1，1）．
假設在線段CD上，存在一點Q（x₀，2，0）滿足題意，則

EF

=(0，1，0)，

EQ

=(x0，2，-1)，

EA

=(0，0，-1)．又設平面EFQ的法向量為

u

=(x，y，z)，則有

u • EF =0 u • EQ =0

，即

(x，y，z)•(0，1，0)=0 (x，y，z)•(x0，2，-1)=0

，
∴y=0，z=x₀x．取x=1，得

u

=(1，0，x0)，則

EA

在平面EFQ的法向量方向上的射影長

| EA • u |

| u |

=0.8，
得x02=(

4

5

)2+(

4

5

)2x02，
又∵x₀＞0，得x0=

4

3

，∴Q(

4

3

，2，0)，從而

CQ

=(-

2

3

，0，0)，
∴|CQ|=

2

3

，即在線段CD上存在一點Q滿足題意，且CQ的長為

2

3

．

點評：1．本題考查了線面平行的判定定理，證線面平行的關鍵是：在已知平面內找一條線與已知直線平行，即將線面平行問題轉化為線線平行問題，而線線平行常根據三角形中位線的性質或平行四邊形的性質得證．
2．若涉及到三條兩兩垂直的直線，可以考慮建立空間直角坐標系．利用向量法求解點到平面距離問題時，一般將此距離轉化為該點到平面內任意一點連線的向量在該平面法向量方向上的射影長處理．