Question

設有兩個命題p、q，其中命題p：對于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立；命題q：f（x）=（4a-3）^x在R上為減函數．如果兩個命題中有且只有一個是真命題，那么實數a的取值范圍是

（

3

4

，1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據二次函數的性質，我們可得不等式ax²+2x+1＞0恒成立時，a的取值范圍，根據指數函數的單調性我們可得f（x）=（4a-3）^x在R上為減函數時，a的取值范圍，進而根據兩個命題中有且只有一個是真命題，分p為真命題，q為假命題，和p為假命題，q為真命題兩種情況討論可得實數a的取值范圍

解答：解：若命題p：對于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立
當a=0時，2x+1＞0不恒成立； 
當

a＞0 △=4-4a＜0

時?a＞1．
所以命題p為真命題?a＞1．
命題q為真命題?0＜4a-3＜1?

3

4

＜a＜1．
∵兩個命題中有且只有一個是真命題
若p為真命題，q為假命題，a＞1； 
若p為假命題，q為真命題，

3

4

＜a＜1；
∴a的取值范圍是（

3

4

，1）∪（1，+∞）
故答案為：（

3

4

，1）∪（1，+∞）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，二次函數的圖象和性質及指數函數的圖象和性質，其中根據函數性質分析出兩個命題對應的a的取值范圍是解答的關鍵．