Question

菱形的邊長為3，與交于，且．將菱形沿對角線折起得到三棱錐（如圖），點是棱的中點，．

（1）求證：平面平面；
（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）如證兩平面垂直，一般根據判定定理證線面垂直，因此我們著重尋找這條直線，在圖形中有，因此若要證的兩平面已經垂直了，那么直線一定垂直于平面，故下面就是要證平面，按照剛才的分析，還需在平面內找一條直線與垂直，看已知，而，，可見，至此題設得證；（2）求三棱錐體積，要作棱錐的高，直接作不太方便，我們把棱錐的底轉換下，，由（1）中知就是三梭錐的底面上的高，下面只要求出的面積即可.
試題解析：(1）由題意，,
因為,所以，． 3分
又因為菱形，所以．
因為,所以平面，
因為平面，所以平面平面．     6分
(2)三棱錐的體積等于三棱錐的體積．
由（1）知，平面，
所以為三棱錐的高．               8分
的面積為，               10分
所求體積等于．               12分