Question

已知,函數.
（Ｉ）證明：函數在上單調遞增；
（Ⅱ）求函數的零點．

Answer 1

（Ｉ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；

解析試題分析：（Ｉ）先在上任取兩變量，設，再對作差變形化簡，判斷大小確定單調性．
（Ⅱ）要求函數f（x）的零點，即求方程f（x）=0的根，對和分情況求解，其中當時，令, 即，對此方程中參數a對根的情況進行討論求解.
試題解析： (1)證明:在上任取兩個實數,且,
則．     2分
∵,      ∴．
∴, 即.  ∴．
∴函數在上單調遞增．     4分[K]
(2) (ⅰ)當時, 令, 即, 解得.
∴是函數的一個零點．             6分
（ⅱ）當時, 令, 即．(※)
①當時, 由(※)得,∴是函數的一個零點；    8分
②當時, 方程(※)無解；
③當時, 由(※)得,(不合題意,舍去)     10分
綜上, 當時, 函數的零點是和；
當時, 函數的零點是．               12分
考點：1.函數單調性的判斷與證明；2.分段函數的解析式求法及其圖象的作法；3.函數的零點．