Question

如圖過拋物線的對稱軸上一點P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，點Q是P關于原點的對稱點，以P，Q為焦點的橢圓為C₂．
（1）求證：x₁x₂為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C₁，C₂以及直線l有公共點，求C₂的方程；
（3）設，若，求證：λ=μ

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線l的方程為y=kx+m，聯立，得x²-4kx-4m=0，由此能夠證明x₁x₂=-4m．
（2）由l的方程為x-2y+4=0，知m=2，由點Q是P關于原點的對稱點，知P（0，2），Q（0，-2），聯立，得A（-2，1），B（4，4），由C₁，C₂以及直線l有公共點，知C₁，C₂以及直線l的公共點為A（-2，1），由此能求出橢圓為C₂的方程．
（3）由，知，因為所以，由此能夠證明λ=μ．
解答：解：（1）設直線l的方程為y=kx+m，
聯立，得x²-4kx-4m=0，
∵直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
∴x₁x₂=-4m．
（2）∵l的方程為x-2y+4=0，∴m=2，
∵點Q是P關于原點的對稱點，
∴P（0，2），Q（0，-2），
聯立，得A（-2，1），B（4，4），
∵C₁，C₂以及直線l有公共點，
∴C₁，C₂以及直線l的公共點為A（-2，1），
∵P，Q為焦點的橢圓為C₂，∴設橢圓為C₂的方程為．
由C₁，C₂以及直線l的公共點為A（-2，1），
知2a==，
∴，
∴橢圓為C₂的方程為．
（3）由，則，
因為
所以，
，
∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
從而，
即，
，
故或（舍去）
故λ=μ．
點評：本題考查x₁x₂為定值的證明，求橢圓C₂的方程和求證：λ=μ．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．