Question

設函數 ()．
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）試通過研究函數（）的單調性證明：當時，；
（Ⅲ）證明：當,且均為正實數,  時，．

Answer 1

（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：（1）求導數，討論真數與1的大小來判斷的正負；（2）利用函數的單調性證明大小關系；（3）利用柯西不等式列出不等式，兩邊取冪，兩邊去倒數，利用不等式的性質證明.
試題解析：（Ⅰ）由，有，    1分
當，即時，單調遞增；
當，即時，單調遞減；
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．      3分
（Ⅱ）設（），則，5分
由（Ⅰ）知在單調遞減，且，
∴在恒成立，故在單調遞減，
又，∴，得，
∴，即：．8分
（Ⅲ）由，及柯西不等式：

，                           
所以，
.     11分
又，由（Ⅱ）可知，
即，即.
則.
故. 14分