Question

（Ⅰ）已知k∈N，n∈N^*，且 k≤n，求證：

n+1

k+1

C

k n

=

C

k+1 n+1

；
（Ⅱ） 若（n+1）(

C

0 n

+

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

+…+

1

n+1

C

n n

)=31，試求n的值，并求（1+x）²ⁿ的展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）

n+1

k+1

C

k n

=

n+1

k+1

•

n!

k!•(n-k)!

，由此能夠證明

n+1

k+1

C

k n

=

C

k+1 n+1

．
（Ⅱ）由（n+1）(

C

0 n

+

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

+…+

1

n+1

C

n n

)=31，能夠推導出2ⁿ⁺¹-1=31，解得n=4．故（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸展開式中系數最大的項是第5項，由此能求出（1+x）²ⁿ的展開式中系數最大的項．

解答：（Ⅰ）證明：

n+1

k+1

C

k n

=

n+1

k+1

•

n!

k!•(n-k)!

=

(n+1)!

(k+1)!(n-k)!

=

C

k+1 n+1

，
∴

n+1

k+1

C

k n

=

C

k+1 n+1

．
（Ⅱ）解：∵（n+1）(

C

0 n

+

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

+…+

1

n+1

C

n n

)=31，
∴

n+1

1

C

0 n

+

n+1

2

C

1 n

+

n+1

3

C

2 n

+…+

n+1

n+1

C

n n

=

C

1 n+1

+

C

2 n+1

+

C

3 n+1

+…+

C

n+1 n+1

=2ⁿ⁺¹-1，
∴2ⁿ⁺¹-1=31，
∴2ⁿ⁺¹=32，解得n=4．
∴（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸展開式中系數最大的項是第5項，
則T5=

C

4 8

x4=70x⁴，
∴（1+x）²ⁿ的展開式中系數最大的項為70x⁴．

點評：本題考查組合數的證明，考查展開式中系數最大的項的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意組合數公式的靈活運用．