Question

（2007•廣州二模）已知曲線C：y=e^x（其中e為自然對數的底數）在點P（1，e）處的切線與x軸交于點Q₁，過點Q₁作x軸的垂線交曲線C于點P₁，曲線C在點P₁處的切線與x軸交于點Q₂，過點Q₂作x軸的垂線交曲線C于點P₂，…，依次下去得到一系列點P₁、P₂…、P_n，設點P_n的坐標為（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）分別求x_n與y_n的表達式；
（Ⅱ）設O為坐標原點，求

n

i=1

O

P

2 i

．

Answer 1

分析：（I）利用導數的幾何意義，求曲線C：y=e^x在點P（1，e）處的切線方程，依題意即可得P₁的坐標為（0，1），同樣可求曲線C：y=e^x在點P_n（x_n，y_n）處的切線方程，從而得點Q_n+1的橫坐標為x_n+1=x_n-1．數列{x_n}是以0為首項，-1為公差的等差數列，利用等差數列的通項公式即可得x_n的表達式，進而得y_n的表達式；（II）先求出{|OP_n|²}的通項公式，再利用拆項求和和等比數列的前n項和公式求和即可

解答：解：（Ⅰ）∵y′=e^x，
∴曲線C：y=e^x在點P（1，e）處的切線方程為y-e=e（x-1），即y=ex．
此切線與x軸的交點Q₁的坐標為（0，0），
∴點P₁的坐標為（0，1）．    
∵點P_n的坐標為（x_n，y_n）（n∈N^*）．
∴曲線C：y=e^x在點P_n（x_n，y_n）處的切線方程為y-exn=exn（x-x_n）
令y=0，得點Q_n+1的橫坐標為x_n+1=x_n-1．
∴數列{x_n}是以0為首項，-1為公差的等差數列．
∴x_n=1-n，y_n=e^1-n（n∈N^*）．                  
（Ⅱ）∵|OP_i|²=xi2+yi2=（i-1）²+e^2（1-i）
∴

n

i=1

O

P

2 i

=|OP₁|²+|OP₂|²+|OP₃|²+…+|OP_n|²
=（0²+e⁰）+（1²+e^-2）+=（2²+e^-4）+…+（n-1）²+e^2（1-n）
=[1²+2²+…+（n-1）²]+[1+e^-2+e^-4+…+e^2（1-n）]
=

n(n-1)(2n-1)

6

+

1-e-2n

1-e-2

=

n(n-1)(2n-1)

6

+

e2n-1

e2n-2(e2-1)

點評：本題主要考查數列、導數等基礎知識，考查有限與無限的數學思想與方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創新意識，本題解答中用到了高中數學不常用的結論1²+2²+…+（n-1）²=

n(n-1)(2n-1)

6

，此公式沒有必要記憶，高考時基本不涉及