Question

已知等差數列的首項為a，公差為b，等比數列的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且．
（1）求a的值；
（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求b的值；
（3）令，問數列中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）2（2）5（3）當時，不存在連續三項成等比數列；當時，數列中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，50．

（1）由已知，得．由，得．
因a，b都為大于1的正整數，故a≥2．又，故b≥3．再由，得 ．
由，故，即．
由b≥3，故，解得． 于是，根據，可得．
（2）由，對于任意的，均存在，使得，則
．
又，由數的整除性，得b是5的約數．
故，b=5．
所以b=5時，存在正自然數滿足題意．
（3）設數列中，成等比數列，由，，得
．
化簡，得．    （※） 
當時，時，等式（※）成立，而，不成立．
當時，時，等式（※）成立．當時，，這與b≥3矛盾．
這時等式（※）不成立．
綜上所述，當時，不存在連續三項成等比數列；當時，數列中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，50．