Question

如圖，已知直角三角形PAB的直角頂點為B，點P的坐標為（3，0），點B在y軸上，點A在x軸的負半軸上，在BA的延長線上取一點C，使

BC

=3

BA

．
（1）當B在y軸上移動時，求動點C的軌跡方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）與點C的軌跡交于M、N兩點，設D（-1，0），當∠MDN為銳角時，求的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設C（x，y），A（a，0），B（0，b），其中a＜0，b≠0．利用

BC

=3

BA

，可得（x，y-b）=3（a，-b），即x=3a，y=-2b．由于∠PBA=90°?

BP

•

BA

=0，可得b²=-3a．聯立

x=3a，y=-2b b2=-3a

，消去a，b即可．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．聯立

y2=-4x y=k(x-1)

可得k²≠0，△＞0，解得k的取值范圍．可得根與系數的關系．由于∠MDN為銳角，可得

DM

•

DN

＞0，代入即可．

解答：解：（1）設C（x，y），A（a，0），B（0，b），其中a＜0，b≠0．
∵

BC

=3

BA

，∴（x，y-b）=3（a，-b），∴x=3a，y=-2b．
∵∠PBA=90°，∴

BP

•

BA

=0，∴（3，-b）•（a，-b）=0，得b²=-3a．
聯立

x=3a，y=-2b b2=-3a

，消去a，b得到y²=-4x（x＜0）．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．聯立

y2=-4x y=k(x-1)

化為k²x²-（2k²-4）x+k²=0，
∵k²≠0，△＞0，解得0＜k²＜1．
∴x1+x2=

2k2-4

k2

，x₁x₂=1．
∵∠MDN為銳角，∴

DM

•

DN

＞0，∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）＞0，化為x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂＞0，
即x1x2+x1+x2+k2(x1-1)(x2-1)＞0，整理為(1-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+k²＞0，
代入解得k2＞

1

2

，又0＜k²＜1．
聯立得

1

2

＜k2＜1，解得k的取值范圍是(-1，-

2

2

)∪(

2

2

，1)．

點評：熟練掌握拋物線的標準方程與性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系、向量夾角與數量積的關系等是解題的關鍵．