Question

已知圓C：x²+y²=4，點D（4，0），坐標原點為O．圓C上任意一點A在X軸上的影射為點B已知向量

OQ

=t

OA

+（1-t）

OB

（t∈R，t≠0）
（1）求動點Q的軌跡E的方程
（2）當t=

3

2

時，設動點Q關于X軸的對稱點為點P，直線PD交軌跡E于點R （異于P點），試問：直線QR與X軸的交點是否為定點，若是定點，求出其坐標；若不是定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設設Q（x，y），A（x₀，y₀）B（x₀，0）代入

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

得到x0= x，y0=

y

t

所以動點Q的軌跡E的方程為x2+

y2

t2

=4．
（2）設直線PD的方程為y=k（x-4）．代入①，并整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0設點P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁），直線RQ的方程為
y-y2=

y2+y1

x2-x2

(x-x2)令y=0將y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4），x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入整理得x=1，即直線QR過定點（1，0）．驗證當k=0時也成立．

解答：解：（1）設Q（x，y），A（x₀，y₀），則B（x₀，0）．
∵

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

∴（x，y）=t（x₀，y₀）+（1-t）（x₀，0）
∴x0= x，y0=

y

t

∵

x

2 0

+

y

2 0

=4，x2+

y2

t2

=4
即軌跡E的方程為x2+ 

y2

t2

=4
（2）當t=

3

2

時，軌跡E為橢圓，方程為

x2

4

+

y2

3

=1…①
設直線PD的方程為y=k（x-4）．代入①，并整理得
（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0…②
由題意得，必有△＞0，故方程②有兩個不等實根．
設點P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁）
由②知，x1+x2= 

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

直線RQ的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)
當k≠0時，令y=0，得x=x2-

y2( x2-x1)

y2+y1

，將y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4）代入整理得
x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

…③
再將x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入③計算得，x=1即直線QR過定點（1，0）

當k=0時，y₁=y₂=0，直線QR過定點（1，0）
綜上可得，直線QR與x軸交于定點，該定點的坐標為（1，0）．

點評：本題考查求曲線方程的方法中相關點代入法以及直線與橢圓的位置關系，直線的方程和定點問題，在高考中定值也是考查的重點．