Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：總存在，使得當，恒有.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求出導數， 就是切線的斜率，由點斜式寫出直線方程；

（Ⅱ）不等式可化為，因此只要求的最大值，即得結論．這可利用導數的知識求解．

（Ⅲ） ，設，利用導數知識求出的單調增區間為，減區間為，注意到，因此當時，可取即符合題意；當時，用放縮法，由（Ⅱ），即，因此有，由得，此時有，取，由，因此在是遞減，滿足題意．

試題解析：

的定義域為．

（Ⅰ）當時， ， ，

， ，

所以，所求切線方程為．

（Ⅱ）因為，所以. . ，

令，則，

由得， ，

所以， ， ， ， ，

所以的單調增區間是，單調減區間是，

所以，所以.

（III） ，

令， ，

所以， ， ， ， ，

所以的單調增區間是，單調減區間是，

因為，所以，

當時，存在，使得當，恒有，即，

當時，由（Ⅱ）知， ，即，

所以，

由得， ，所以.

，存在，使得當，恒有，即.

綜合上所述，總存在，使得當，恒有．