Question

如圖在四棱錐中，底面是矩形，平面，，點是中點，點是邊上的任意一點.

（1）當點為邊的中點時，判斷與平面的位置關系，并加以證明；
（2）證明：無論點在邊的何處，都有；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）答案詳見解析；（2）答案詳見解析；（3）.

試題分析：（1）證明直線和平面平行的常用方法有兩種：①證明直線和平面內的一條直線平行；②若兩個平面平行，則一個平面內的直線平行于另一個平面．本題中，易證，進而證明面；（2）要證明直線和直線垂直，往往通過證明直線和平面垂直.本題中，只需證明面，因，故只需證明，進而轉化為證明面，因，故只需證明，顯然易證；（3）求四面體體積，難點是確定四面體的高，如果高不易求，可考慮等體積轉化，本題中三棱錐的體積可轉化為的體積來求．
試題解析：（1）當點為邊的中點時，∵點是中點，∴，又∵面，面，∴面.
（2）∵平面，∴，又∵底面是矩形，∴，，∴面，又∵面，∴，又，點是中點，∴，又,∴面．平面，10分
（3）作∥交于，則平面，且

三棱錐的體積為.14分