Question

已知關于x的方程kx=sinx（k為正常數）在區間（-3π，3π）內有且僅有5個實數根，從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則x₁與tanx₁的大小關系為（　　）

A．x₁＞tanx₁

B．x₁＜tanx₁

C．x₁=tanx₁

D．以上都有可能

Answer 1

分析：將方程根的問題轉化為圖象的交點問題，先畫圖（如下），再觀察交點個數即得．

解答：解：由原方程得sinx=kx（x≠0），
設函數f（x）=sinx，g（x）=kx，它們的圖象如圖所示：
方程得sinx=kx 在（-3π，3π）內有且僅有5個根，
x₁必是函數g（x）=kx與f（x）=sinx在（-3π，-2π）內相切時切點的橫坐標，
 即切點為（x₁，sinx₁），故 g（x）=kx是f（x）=sinx的切線，k=cosx₁，
再由sinx₁=kx₁=cosx₁ x₁，故x₁=tanx₁ ，
故選C．

點評：數形結合是重要的數學思想，以形助數，直觀簡捷，從而利用函數圖象可以進一步發現函數性質，并能利用函數圖象解決實際問題，屬于中檔題．