Question

某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．
（I）假設n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X，求X的分布列和數學期望；
（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm²）如下表：

品種甲	403	397	390	404	388	400	412	406
品種乙	419	403	412	418	408	423	400	413

分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？
附：樣本數據x₁，x₂，…，x_a的樣本方差s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₁-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，其中

.

x

為樣本平均數．

Answer 1

分析：（I）根據題意得到變量X的可能取值是0，1，2，3，4，結合變量對應的事件寫出變量對應的概率，列出分布列，算出變量的期望值．
（II）根據條件中所給的甲和乙兩組數據，分別求出甲品種的每公頃產量的平均值和方差和乙的平均值和方差，把兩個品種的平均值和方差進行比較，得到品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩個品種的樣本方差差異不大，應選擇種植品種乙．

解答：解：（I）由題意知X的可能取值是0，1，2，3，4，
P（X=0）=

1

C 4 8

=

1

70

P（X=1）=

C 1 4 C 3 4

C 4 8

=

16

70

P（X=2）=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

=

36

70

P（X=3）=

C 1 4 C 3 4

C 4 8

=

16

70

，
P（X=4）=

1

C 4 8

=

1

70

∴X的分布列為

∴X的期望是1×

16

70

+2×

36

70

+3×

16

70

+4×

1

70

=2
（II）品種甲的每公頃產量的樣本平均數

403+397+390+404+388+400+412+406

8

=400，
方差是

1

8

(9+9+100+16+144+0+144+36)=57.25
品種乙每公頃的產量的樣本平均數

419+403+412+418+408+423+400+413

8

=412，
方差是

1

8

(49+81+0+36+16+121+144+1)=56
有以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，
且兩個品種的樣本方差差異不大，故應選擇種植品種乙．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查兩組數據的平均值和方差，并且針對于所得的結果進行比較，本題考查利用概率統計知識解決實際問題．