Question

相關部門對跳水運動員進行達標定級考核，有A、B兩套動作，完成每套動作成績在9.50分及以上的定為該套動作合格，完成A動作合格的才能進行B動作的考核，兩套動作的完成過程相互獨立，并規定：
①A、B兩套動作均合格者定為一級運動員；
②僅A動作合格，而B動作不合格者定為二級運動員；
③A動作不合格的予定級．
根據以往訓練的統計知，甲、乙、丙三名運動員完成A動作合格的概率分別為0.5，0.6，0.4；完成B動作合格的概率分別為0.6，0.5，0.75．
（I）求經過此次考核，甲、乙兩名運動員中恰好有1人被定為一級運動員，有1人被定為二級運動員的概率；
（II）設甲、乙、丙三人完成A動作合格的人數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設甲、乙、丙三人完成A動作合格的不件分別為A₁，A₂，A₃，完成B動作的事件分別為B₁，B₂，B₃，事件C表示“經過此次考核，恰好有一人被定為一級運動員，有一人被定為二級運動員”，則P（C）=P[A₁A₂（B1

.

B2

+

.

B1

B2）]，由此能求出結果．
（Ⅱ）X的可能取值有0，1，2，3，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和數學期望．

解答：解：（Ⅰ）依題意，設甲、乙、丙三人完成A動作合格的不件分別為A₁，A₂，A₃，
完成B動作的事件分別為B₁，B₂，B₃，
事件C表示“經過此次考核，恰好有一人被定為一級運動員，有一人被定為二級運動員”，
則P（C）=P[A₁A₂（B1

.

B2

+

.

B1

B2）]=×0.6×（0.6×0.5+0.4×0.5）=0.15．
（Ⅱ）依題意，X的可能取值有0，1，2，3，
P（X=0）=P（

.

A1

.

A2

.

A3

）=0.5×0.4×0.6=0.12．
P（X=1）=P（A1

.

A2

.

A3

）+P（

.

A1

A2

.

A3

）+P（

.

A1

.

A2

A3）
=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38．
P（X=2）=P（A1A2

.

A3

）+P（

.

A1

A2

.

A3

）+P（

.

A1

A2A3）
=0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4+0.5×0.6×0.4=0.38．
P（X=3）=P（A₁A₂A₃）=0.5×0.6×0.4=0.12．
∴X的分布列為：

p	0	1	2	3
X	0.12	0.38	0.38	0.12

∴EX=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．