Question

在3.11日本大地震后對福島核電站的搶險過程中，海上自衛隊準備用射擊的方法引爆從海上游漂流過來的一個大型汽油罐，已知只有5發子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是

2

3

．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ．求ξ的分布列及Eξ．（結果用分數表示）

Answer 1

分析：（1）設命中油罐的次數是X，則當X=0或X=1時，油罐不能被引爆．由此利用對閏事件能求出油罐被引爆的概率．
（2）射擊次數ξ的取值為2，3，4，5，P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，P（ξ=3）=

C

1 2

×

2

3

(1- 

2

3

)×

2

3

 =

8

27

，P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設命中油罐的次數是X，
則當X=0或X=1時，油罐不能被引爆．
P（X=0）=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P（X=1）=

C

1 5

 ×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
∴油罐被引爆的概率P=1-P（X=0）-P（X=1）=

232

243

．
（2）射擊次數ξ的取值為2，3，4，5，
P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P（ξ=3）=

C

1 2

×

2

3

(1- 

2

3

)×

2

3

 =

8

27

，
P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

∴Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．