Question

【題目】已知數列的各項均為非零實數，其前項和為，且.

（1）若，求的值；

（2）若，求證：數列是等差數列；

（3）若，，是否存在實數，使得對任意正整數恒成立，若存在，求實數的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）不存在滿足條件的實數，見解析

【解析】

（1）由題得，所以，得，即得的值；

（2）利用累乘法得到，所以數列是等差數列，首項為，公差為，求出，，所以，再證明數列是等差數列；

（3）原題等價于，不妨設，即對任意正整數（）恒成立，即對任意正整數恒成立，再證明當且時，，即得解.

（1）解：由，令，得，

因為數列的各項均為非零實數，所以，

所以，

所以.

（2）證明：由得：

，……，，相乘得：，

因為數列的各項均為非零實數，所以，

當時：，所以，

即，

即，

因為，所以，

所以數列是等差數列，首項為，公差為，

所以，所以，

所以，，所以，

所以，所以數列是等差數列.

(3) 解：當，時，由(2)知，所以，即，

不妨設，則，，所以，

即對任意正整數（）恒成立，

則，即對任意正整數恒成立，

設，

時，；時，；

時，；時，；

時，；

當時，，

所以時，.

所以時，，

令或（舍去）.

所以當且時，，

所以不存在滿足條件的實數.