Question

（2008•徐匯區二模）已知關于x的方程x²-ax+ab=0，其中a，b為實數，且a≠0．
（1）若x=1-

3

i (i為虛數單位）是該方程的一個根，求a，b的值；
（2）當該方程沒有實數根時，證明：

b

a

＞

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知，得另一根為x′=1+

3

i，利用一元二次方程根與系數的關系求出a和b的值
（2）方程沒有實數根，則△＜0，化簡后再證明．

解答：解：（1）根據一元二次方程有虛數解時，兩根互為共軛虛數．由x=1-

3

i，得另一根為x′=1+

3

i，
由韋達定理得x+x′=a=2，ab=x•x′=(1-

3

i)(1+

3

i)=4，b=2．----------------（6分）
（2）方程沒有實數根 則由△=a2-4ab＜0⇒1-

4b

a

＜0⇒

b

a

＞

1

4

----------（12分）

點評：本題考查一元二次方程解，及根與系數的關系．若一元二次方程有虛數解，則兩根互為共軛虛數，且韋達定理仍然成立．