Question

按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為。如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h₁和h₂，則他對這兩種交易的綜合滿意度為，現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為m_A元和m_B元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h_甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h_乙，
(1)求h_甲和h_乙關于m_A，m_B的表達式；當m_A=m_B時，求證：h_甲=h_乙；
(2)設m_A=m_B，當m_A，m_B分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
(3)記(2)中最大的綜合滿意度為h₀，試問能否適當選取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時成立，但等號不同時成立？試說明理由．

Answer 1

解：(1)，
當m_A=m_B時，
，
，
顯然h_甲=h_乙。
(2)當m_A=m_B時，
，
由，得，
故當，即m_B=20，m_A=12時，甲、乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。
(3)由(2)知，
由，
得，
令，則，即，
同理，由，得；
另一方面，，
，
當且僅當x，即時取等號，
所以不能適當選取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時成立，但等號不同時成立．