Question

已知函數y=f（x）對任意的實數ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0時，f（x）＞1，
（1）求證：f（x）是R上的增函數；
（2）若f（4）=5，求f（2）的值，并解不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3．

Answer 1

（1）見解析（2）不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3的解集為：{m|﹣1＜m＜}

試題分析：（1）設x₁＜x₂，利用函數單調性的定義作差結合已知條件判斷符號即可；
（2）利用f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5即可求得f（2）=3，再利用其單調遞增的性質脫掉“f”，解關于m的不等式即可．
（1）證明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0時，f（x）＞1，
設x₁＜x₂，則x₂﹣x₁＞0，f（x₂﹣x₁）＞1，
∴f（x₂）﹣f（x₁）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]﹣f（x₁）=f（x₂﹣x₁）+f（x₁）﹣1﹣f（x₁）=f（x₂﹣x₁）﹣1＞1﹣1=0，
∴f（x）是R上的增函數；
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²﹣m﹣2）＜3=f（2），又f（x）是R上的增函數；
∴3m²﹣m﹣2＜2，
∴﹣1＜m＜
∴不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3的解集為：{m|﹣1＜m＜}．
點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查抽象函數的單調性，f（x₂）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]是解決的關鍵，屬于中檔題