Question

設(shè)圓過(guò)點(diǎn)P(0,2), 且在軸上截得的弦RG的長(zhǎng)為4.

(１)求圓心的軌跡E的方程；

(２)過(guò)點(diǎn)(０，１)，作軌跡的兩條互相垂直的弦、，設(shè)、 的中點(diǎn)分別為、，試判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為，如圖過(guò)圓心作軸于H,

則H為RG的中點(diǎn)，在中，…3分

∵ ∴  

即  …………………6分

 (2) 設(shè)，

直線(xiàn)AB的方程為（）則-----①---②

由①－②得，∴，………………9分

∵點(diǎn)在直線(xiàn)上， ∴．

∴點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為． ………………10分

同理可得：, ,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為． ………………11分

直線(xiàn)的斜率為，其方程為

，整理得，………………13分

顯然，不論為何值，點(diǎn)均滿(mǎn)足方程，

∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．……………………14分