Question

點(diǎn)P是曲線x²-y-lnx=0上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為（　　）

• A、1
• B、

  3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2

Answer 1

分析：由題意知，當(dāng)曲線上過(guò)點(diǎn)P的切線和直線y=x-2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最小，求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得且點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線y=x-2的距離即為所求．

解答：解：點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線和直線y=x-2平行時(shí)，
點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最小．
直線y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的導(dǎo)數(shù) y′=2x-

1

x

=1，x=1，或 x=-

1

2

（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x-2平行的切線經(jīng)過(guò)的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線y=x-2的距離等于

2

，
故點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為

2

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．