Question

【題目】設函數．

（1）討論的單調性；

（2）若存在正數，使得當時，，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：函數求導得，討論，由導數的正負求單調區間即可；

（2）若，分析函數可知，即，設，，討論和兩種情況，知成立，時不成立，時，存在，使得當時，，可化為，即，設，分析和求解即可.

詳解：（1）．

當時，，上單調遞增．

當時，若，則，若，則；所以在單調遞增，在上單調遞減．

（2）若，在內單調遞增，當時，，所以，即.

設，.

若，時，，在單調遞增.所以當時，，

故存在正數，使得當時，.

若，當時，，在單調遞減，因為，所以.故不存在正數，使得當時，.

若，在單調遞減，因為，所以存在，使得當時，，可化為，即.

設，.

若，則時，，在單調遞增，又，所以時，.故不存在正數，使得當時，.

當時，當時，，在單調遞減，又，所以.故存在，使得當時，.

綜上，實數的取值范圍為．