Question

(本小題滿分16分)

已知函數和函數，記．

（1）當時，若在上的最大值是，求實數的取值范圍；

（2）當時，判斷在其定義域內是否有極值，并予以證明；

（3）對任意的，若在其定義域內既有極大值又有極小值，試求實數的取值范圍．

Answer 1

(本小題滿分16分)解：（1）時，．

①當時，，不合題意；

②當時，在上遞增，在上遞減，而，故不合題意；

③當時，在上遞減，在上遞增， 在上的最大值是，所以，即，所以．

綜上所述，實數的取值范圍是．

（2）時，定義域為，．

①當時，，在上單調遞增，從而在其定義域內沒有極值；

②當時，，令有，但是時，，單調遞增，時，，也單調遞增，所以在其定義域內也沒有極值．

綜上，在其定義域內沒有極值．

（3）據題意可知，令，即方程 在上恒有兩個不相等的實數根．即恒成立，因為，，所以．