Question

給出如下命題：
①若2

MP

+3

MQ

+5

MR

=

0

，則三點P，Q，R共線；
②若

MP

=

1

3

MQ

+

2

3

MR

，則三點P，Q，R共線；
③向量

a

，

b

不共線，則關于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

至多有一個實根；
④向量

a

，

b

不共線，則關于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一實根．
其中正確命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：根據三點共線的向量判斷法，可以判斷①與②的真假，根據平面向量的基本定理，我們可得當λ=-μ²時，則關于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

有一個實根，否則關于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

無實根，進而判斷③的真假，若向量

a

，

b

不共線，則關于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一實根0，進而判斷④的真假．

解答：解：若2

MP

+3

MQ

+5

MR

=

0

，
∴

MR

=-

3

5

MP

-

3

5

MQ

，由于-

2

5

-

3

5

=-1≠1，故P，Q，R三點不共線，故①錯誤；
∵若

MP

=

1

3

MQ

+

2

3

MR

，由于

1

3

+

2

3

=1，可得三點P，Q，R共線，故②正確；
若向量

a

，

b

不共線，則存在唯一的實數對λ，μ使

c

=λ

a

+μ

b

，
若λ=-μ²，則關于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

有一個實根，
若λ≠-μ²，則關于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

無實根，
故關于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

至多有一個實根，即③正確；
若向量

a

，

b

不共線，則關于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一實根0，故④正確；
故答案為：②③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，向量的線性運算性質及其幾何意義，平面向量的基本定理及其意義，熟練掌握三點共線向量判定法及平面向量的基本定理是解答本題的關鍵．