Question

設拋物線M方程為y²=2px（p＞0），其焦點為F，P（a，b）（a≠0）為直線y=x與拋物線M的一個交點，|PF|=5
（1）求拋物線的方程；
（2）過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，試問在拋物線M的準線上是否存在一點Q，使得△QAB為等邊三角形，若存在求出Q點的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯立方程組可求得P坐標，根據|PF|=5及拋物線定義即可求得p值；
（2）①當直線l的斜率不存在時易驗證不合題意；②當直線存在斜率時設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l與拋物線的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯立方程組消y后可求AB中點M坐標，設存在Q（-1，m），由K_AB•K_QM=-1，Q到直線l的距離為d=

3

2

|AB|，聯立即可解得k，m值，從而可判斷存在性；

解答：解：（1）

y=x y2=2px

⇒

x=2p y=2p

或

x=0 y=0

（舍去），
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，∴2p+

p

2

=5，解得p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x；
（2）①若直線l的斜率不存在，則Q只可能為（-1，0），此時△QAB不是等邊三角形，舍去；
②若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l與拋物線的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0，x₁+x₂=2+

4

k2

，
設存在Q（-1，m），AB的中點為M（1+

2

k2

，

2

k

），設Q到直線l的距離為d，
有題意可知：

2 k -m

2 k2 +2

=-

1

k

①，d=

3

2

|AB|⇒

|2k+m|

k2+1

=

3

2

|4+

4

k2

|②，
由①可得：m=

2

k3

+

4

k

，③
③代入②得：（2k+

2

k3

+

4

k

）²=（k²+1）•

3

4

•

16(k2+1)2

k4

，
化簡得：

4(k2+1)4

k6

=12•

(k2+1)3

k4

⇒k²=

1

2

，
將k=±

2

2

代入③得m=±8

2

，
∴Q（-1，±8

2

）為所求點．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及拋物線方程的求解，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力，解決本題的關鍵是充分利用正三角形的性質列方程組．