Question

某醫院將一專家門診已診的1000例病人的病情及診斷所用時間（單位：分鐘）進行了統計，如下表．若視頻率為概率，請用有關知識解決下列問題．

病癥及代號	普通病癥A1	復診病癥A2	常見病癥A3	疑難病癥A4	特殊病癥A5
人數	100	300	200	300	100
每人就診時間 （單位：分鐘）	3	4	5	6	7

（1）用ξ表示某病人診斷所需時間，求ξ的數學期望．并以此估計專家一上午（按3小時計算）可診斷多少人；
（2）某病人按序號排在第三號就診，設他等待的時間為ξ，求P（ξ≤8）；
（3）求專家診斷完三個病人恰好用了一刻鐘的概率．

Answer 1

分析：（1）用頻數除以總體容量即可得出概率．再利用數學期望的計算公式可得Eξ，用

3×60

Eξ

可得專家一上午（按3小時計算）可診斷人數．
（2）由題意可得，第三號就診的病人的前面可能是：兩個A₁；兩個A₂；一個A₁與一個A₂，由兩種順序；一個A₁與一個A₃有兩種順序．因此P（ξ≤8）=P（A₁）P（A₁）+P（A₂）P（A₂）+2P（A₁）P（A₂）+2P（A₁）P（A₃）．
（3）由表格可知：專家診斷完三個病人恰好用了一刻鐘的有以下情況：A₁，A₃，A₅，可以有

A

3 3

種順序；A₂，A₃，A₄，可以有

A

3 3

種順序；A₅，A₂，A₂，可以有3種順序；A₁，A₄，A₄，可以有3種順序；A₃，A₃，A₃，只有一種情況．
P=

A

3 3

P(A1)P(A3)P(A5)+

A

3 3

P(A2)P(A3)P(A4)+

C

1 3

P(A5)P(A2)P(A2)+

C

1 3

P(A1)P(A4)P(A4)+P(A3)P(A3)P(A3)

解答：解：（1）P(A1)=

100

1000

=0.1，P（A₂）=

300

1000

=0.3，P(A3)=

200

1000

=0.2，P(A4)=

300

1000

=0.3，P(A5)=

100

1000

=0.1．
∴Eξ=0.1×3+0.3×4+0.2×5+0.3×6+0.1×7=5.3×60÷5=36．專家一上午（按3小時計算）可診斷36人．
（2）P（ξ≤8）=P（A₁）P（A₁）+P（A₂）P（A₂）+2P（A₁）P（A₂）+2P（A₁）P（A₃）=0.1×0.1+0.3×0.3+2×0.1×0.3+2×0.1×0.2=0.2．
（3）P=

A

3 3

P(A1)P(A3)P(A5)+

A

3 3

P(A2)P(A3)P(A4)+

C

1 3

P(A5)P(A2)P(A2)+

C

1 3

P(A1)P(A4)P(A4)+P(A3)P(A3)P(A3)=6×0.1×0.2×0.1+6×0.3×0.2×0.3+3×0.1×0.3×0.3+3×0.1×0.3×0.3+0.2³=0.182．

點評：本題考查了用頻率估計概率、數學期望、獨立性事件的概率與互斥事件的概率計算公式、分類討論的思想方法等基礎知識與基本技能方法，特別注意分類討論時出現考慮不全面的情況，屬于難題．