Question

如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點(diǎn)在線段上,平面.

(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.

Answer 1

(Ⅰ) 只需證 和 即可。(Ⅱ)3.

解析試題分析：(Ⅰ)因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/d/2kkw21.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以………2分
又因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8a/2/1zl4f3.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以………4分
而,平面,平面
所以平面.                              …………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以
而為矩形,所以為正方形,于是. ……7分
法1:以點(diǎn)為原點(diǎn),、、為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則、、、,于是,.        …… ………8分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則             ,從而,令,得………………9分
而平面的一個(gè)法向量為.   ……………10分
所以二面角的余弦值為,
于是二面角的正切值為3.              ………………12分
法2:設(shè)與交于點(diǎn),連接.因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/d/2kkw21.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7f/1/1xbux2.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以是直角三角形.由∽